L'equazione del tempo

Nella pagina dedicata alla costruzione della meridiana equatoriale, abbiamo visto come l'ora indicata dall'ombra dello gnomone e quella di un comune orologio, possa differire anche di oltre 16 minuti in più e 14 in meno.
La differenza dell'ora indicata è conseguenza della combinazione dell'inclinazione e dell'eccentricità dell'orbita terrestre e può essere calcolata utilizzando l'equazione del tempo. Il periodo di rotazione della Terra rappresenta un buon orologio poiché la lunghezza di un giorno aumenta solamente di un secondo ogni 45000 anni. Quindi per conoscere l'ora è sufficiente conoscere come è orientata la Terra rispetto alle stelle. Però queste si vedono solo di notte e non sono abbastanza potenti da proiettare ombre per cui, il sistema più semplice è quello di osservare la posizione del Sole nel cielo e, conseguentemente, delle ombre proiettate durante la giornata.
Purtroppo la posizione del Sole è determinata non solo dalla rotazione terrestre ma anche dalla rivoluzione di questa intorno ad esso.


Infatti dopo che la Terra ha compiuto una intera rotazione, dovrà ruotare ancora di un grado circa per vedere il Sole nella stessa posizione in cielo del giorno precedente.
Il periodo di rotazione della Terra calcolato rispetto alla posizione del Sole, prende il nome di Giorno Solare e dura 24 ore, ma se lo calcoliamo rispetto alle stelle, esso dura 23 ore 56 minuti e 04,0905 secondi e prende il nome di Giorno Siderale.
È quella differenza di circa 1 grado che fa durare il giorno circa 4 minuti in più. Vediamola in dettaglio.
In un anno la Terra compie 366 rotazioni, ma il Sole sorge e tramonta 365 volte. Il giro in più comporta che il giorno siderale è più corto del giorno solare di:

1/366 x 24 ore x 60 min = 3 min 56 s



L'inclinazione dell'eclittica

Questi 3 minuti e 56 secondi di differenza sono un valore medio nell'anno. Infatti se osserviamo il moto del Sole durante l'anno, notiamo che esso percorre una circonferenza che non corrisponde all'equatore celeste (la proiezione dell'equatore della Terra nel cielo) ma si trova inclinata rispetto a questo di 23.44°. Questo è il motivo per cui il Sole si trova in alto nel cielo estivo e in basso in quello invernale.
Se mi trovassi al Polo Nord e tutti i giorni alle 12 con una telecamera scattassi un unico fotogramma, alla fine dell'anno, proiettando il film, vedrei il Sole alto 23.44° sull'orizzonte (che è parallelo all'equatore) il 21 giugno, poi si abbasserebbe progressivamente fino a scomparire sotto l'orizzonte il 23 settembre e raggiungere i -23.44° il 22 dicembre per ricomparire il 21 marzo.
Se il Sole si muovesse a velocità costante (il che non è vero come vedremo dopo) sul cerchio celeste, l'ombra proiettata da uno gnomone posto sul polo nord non si muoverebbe a velocità costante. Quando il Sole è in salita o discesa verso i 23,44°, deve muoversi di 1,09° perché l'ombra si muova di 1°:

1/cos(23.44) = 1,0899

Diversamente, a metà estate e a metà inverno, per ogni grado di avanzamento del Sole, l'ombra dello gnomone si muove di 1,09°. Il ciclo si ripete due volte in un anno ed è indipendente dalla latitudine dell'osservatore.
In primavera ed autunno i 3 minuti e 56 secondi si riducono di un fattore 1,09 a 3 minuti e 37 secondi, mentre in estate ed inverno si ha un incremento a 4 minuti e 17 secondi.
A causa dell'inclinazione dell'eclittica una meridiana perde o guadagna fino a 20,3 secondi al giorno, a seconda del giorno dell'anno. Dopo un mese e mezzo (che corrisponde a metà stagione) si ha un errore massimo di 9.8 min.


L'eccentricità dell'orbita terrestre

Riprendiamo l'esempio della telecamera al Polo Nord, se sovrapponessi tutte le immagini in modo da vedere contemporaneamente le 365 posizioni che ha assunto il Sole nel corso dell'anno, non le troverei su un segmento di retta con le estremità tra +23.44° e -23.44°. La figura ottenuta è una specie di 8 che prende il nome di analemma e dipende dall'effetto appena visto della inclinazione dell'eclittica e della differente velocità angolare dell'ombra dello gnomone.
Avevamo supposto che la velocità della Terra intorno al Sole fosse costante, in realtà la Terra segue una ellisse ubbidendo alle leggi di Keplero, il 3-4 gennaio si trova al perielio, 1.67% più vicina al Sole rispetto alla distanza media e la sua velocità angolare è superiore del 3,37%. Il risultato è che in quella data, il giorno è più lungo di 7.9 secondi:


3 min 56 s x 0.0337 = 7.9

Nel corso di tre mesi una meridiana accumula un errore di 7,6 minuti a causa dell'eccentricità orbitale.
Se si osserva la curva a otto dell'analemma, si può notare che il cappio comprendente autunno ed inverno è più ampio di quello comprendente primavera ed estate e questo è l'effetto della differente velocità della Terra lungo l'orbita di rivoluzione.
Gli errori cumulativi di 9,8 e 7,6 minuti dovuti ai due effetti non si sommano esattamente e ne risulta un errore complessivo di meno di 17 minuti.



Se l'orbita terrestre fosse perfettamente circolare centrata attorno al sole e l'asse terrestre fosse perpendicolare all'orbita il sole apparirebbe sempre nella stessa posizione ogni giorno alla stessa ora e non si avrebbe alcun analemma. Se l'orbita fosse circolare ma l'asse inclinato come è realmente, i due lobi della figura sarebbero simmetrici. Se l'asse non fosse inclinato ma l'orbita fosse ellittica l'analemma sarebbe costituito da un segmento rettilineo in senso est-ovest.



Calcolo dell'equazione del tempo

L'equazione del tempo è la somma di due curve con periodi rispettivamente di un anno e sei mesi. L'equazione può essere approssimata in:

ET = 9.87 sen(2B) - 7.53 cos(B) - 1.5 sen(B)

dove:

B = 360° (N - 81) /364

con gli angoli espressi in gradi e il valore N corrisponde al giorno dell'anno.
Es.
N=1 per il 1 gennaio
N=2 per il 2 gennaio
ecc.